二元运算

定义

$ *:G^2 \rightarrow G $ 一个有序数对到一个数的映射被称作二元运算

群

定义

一个集合与定义在集合上满足下列条件的运算

(1) $ \exist 1\in G,s.t.\forall x\in G\quad 1x=x1=x $ ，既存在单位元

(2). $ \forall x,y,z\in G,(xy)z=x(yz) $ ，既满足结合率

(3). $ \forall x\in G,\exist y \in G,s.t.\quad xy=yx=1 $

eg.

克莱因四元群

$G={ I,a,b,c} $ $aa=1\quad bb=1 \quad cc=1$ $ab=ba=c$ $bc=cb=a$ $ca=a*c=b$ 容易验证，上述四元集合及其运算\(*\)满足群的定义

等边三角形变换群

tips：集合的元素为变换(函数) 1.本身(ABC-ABC) 2.顺时针120(ABC-CAB) 3.逆时针120(ABC-BCA) 4.翻转(ABC-ACB) 5.翻转逆时针120(ABC-CBA) 6.翻转顺时针120(ABC-BAC) 经过验证，满足结合律且存在逆元，为群

群的部分性质及其证明

单位元唯一

$假设a,b都是单位元$ $有a*b=a=b$ $Q.E.D.$

逆元唯一

$假设b,c均为a的逆元$ $ bac=1c=c,bac=b(ac)=b$ $ b=c$

群方程一定有解

$ax=b$ $由于一定存在逆元有x=a^{-1}b$ tips:由于群不一定满足交换律，$a^{-1}b\neq ba^{-1}$

待续